New PDF release: Analysis I [Lecture notes]

By Dirk Ferus

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Komplexes Polynom enth¨ alt (nach dem Wohlordnungsprinzip) ein Polynom r kleinsten Grades, so dass f − qg = r f¨ ur ein geeignetes Polynom q. n Annahme: Grad r ≥ Grad g, also etwa r(z) = k=0 rk z k , g(z) = rn = 0 = gm . Dann w¨ are rn n−m r˜(z) := r(z) − z g(z) gm m k k=0 gk z mit n ≥ m und (13) ein Polynom vom Grad kleiner als Grad r und r˜(z) = f (z) − q(z)g(z) − rn n−m rn n−m g(z) z z g(z) = f (z) − q(z) + gm gm =:˜ q (z) im Widerspruch zur Wahl von r. Also ist Grad r < Grad g. Zur Eindeutigkeit: Aus r 1 + q 1 g = f = r2 + q 2 g mit r1 , r2 von minimalem Grad folgt r1 − r2 = (q2 − q1 )g und daraus Grad g > Grad(r1 − r2 ) = Grad(q2 − q1 ) + Grad g, was nur m¨ oglich ist, wenn Grad(r1 − r2 ) = −∞ = Grad(q2 − q1 ), also r1 = r2 und q1 = q2 .

Dann folgt a ≤ b. Beachten Sie: Wenn xn < yn f¨ ur alle n, so folgt nicht notwendig a < b. Finden Sie daf¨ ur ein Beispiel. Beweis. Seien > 0 und N ∈ N, so dass f¨ ur alle n ≥ N gilt: xn ≤ yn und |xn − a| < und |yn − b| < . Die beiden letzten Ungleichungen bedeuten a − < xn < a + und b − < yn < b + . Es folgt a − < xn ≤ yn < b + . h. a < b + 2 f¨ ur jedes > 0. Daher ist a ≤ b. Ein wichtiger Begriff ist der der Teilfolge: 48 Definition 79. Sei (xn ) eine Folge. Eine Teilfolge von (xn ) ist eine Folge (yk )k∈N , f¨ ur die es eine streng monoton wachsende Folge (nk )k∈N nat¨ urlicher Zahlen gibt, so dass yk = xnk f¨ ur alle k ∈ N.

Beispiel 124. Weil die Funktion x → x stetig ist, sind auch die Potenzen x → xk stetig. Weil konstante Funktionen stetig sind, sind dann auch Produkte x → ak xk und Summen von solchen Funktionen stetig. Kurzum: Polynome sind stetig. Rationale Funktionen sind stetig auf ihrem nat¨ urlichen Definitionsbereich. Lemma 125. Stetigkeit ist eine lokale Eigenschaft: f : D → R ist stetig in p ∈ D, wenn es ein δ > 0 gibt, so dass f |D∩Uδ (p) stetig ist. Entsprechendes gilt f¨ ur komplexe Funktionen. Beweis.

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Analysis I [Lecture notes] by Dirk Ferus

by Kevin

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