Read e-book online Übungen zur Algebra: Aufgaben - Lösungen - Probeklausuren PDF

By Clemens Fuchs, Gisbert Wüstholz

ISBN-10: 383481962X

ISBN-13: 9783834819628

ISBN-10: 3834886793

ISBN-13: 9783834886798

Das Lösen von Übungsaufgaben gehört im Mathematikstudium zum A und O. Ihnen fällt die Rolle zu, komplexe Sachverhalte zu illustrieren, und die Beschäftigung mit ihnen fördert und vertieft das Verständnis des Erlernten. Eine Lösung einer Aufgabe gefunden zu haben, manchmal erst nach Stunden, vermittelt das befriedigende Gefühl, die zugrunde liegende Theorie verstanden zu haben und anwenden zu können. Oftmals ist es aber auch einfach schön, sich einer mathematischen Herausforderung zu stellen und diese zu bewältigen.

Gerade in der Algebra hat guy oft mit nicht unerheblichen Anfangsschwierigkeiten zu kämpfen. Anhand von Übungsaufgaben soll das Buch dazu beitragen, diese faszinierende Welt etwas näher zu bringen.

Die Aufgaben in diesem Übungsbuch sind in fünf Gruppen unterteilt. Die Autoren beginnen mit einigen grundlegenden Aufgaben zu Abbildungen und Relationen, anschließend beschäftigen sie sich mit Gruppen, Ringen und Körpern, sowie in einem abschließenden Kapitel mit Darstellungen von endlichen Gruppen. Es werden dann ausführliche Lösungen zu allen Übungsaufgaben gegeben. Zum Schluss wurden noch sechs Probeklausuren mit vollständigen Lösungen angefügt. Sie bieten die Gelegenheit, die Fertigkeit über das Erlernte zu überprüfen.

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Aufgabe 201. Sei f = X 5 + 3X 4 − 9X 3 + 12X 2 − 6X + 12 ∈ Q [ X ]. Konstruiere einen Erweiterungskörper Q (α) von Q mit f (α) = 0. Drücke α−1 ∈ Q (α) als Polynom in α aus. Aufgabe 202. Sei f = X 4 − 3. Konstruiere einen Erweiterungskörper von Z/5Z, in dem f (aufgefasst als ein Polynom über Z/5Z [ X ]) eine Nullstelle hat und zeige, dass f dort sogar ganz in Linearfaktoren zerfällt; wieviele Elemente enthält dieser Körper? Fasse nun f als Polynom über Q auf und konstruiere einen Erweiterungskörper von Q, in dem f eine Nullstelle besitzt aber nicht in Linearfaktoren zerfällt.

Aufgabe 217. Verifiziere den Satz vom primitiven Element für K = Q ( 2, 3) durch Angabe eines α ∈ K mit K = Q (α). Aufgabe 218. Man bestimme ein α ∈ C so, dass Q (i, Grad hat die Erweiterung Q (α) ⊇ Q. √ 3) = Q (α) ist. Welchen Aufgabe 219. Finde ein primitives Element für den Zerfällungskörper (in C) von f = ( X 2 + 3)( X 3 − 2) über Q. Aufgabe 220. Sei K ein Körper mit Charakteristik 0 und E ⊇ K eine Körpererweiterung vom Grad 2. Zeige, dass E = K (α) für ein α ∈ E mit α2 ∈ K. 32 I. Aufgaben Aufgabe 221.

Zeige: a) Gal( Z f /Zg ) ∩ Gal( Z f /Zh ) = {id} b) Falls Zg ∩ Zh = K, dann gilt Gal( Z f /Zg )Gal( Z f /Zh ) = Gal( Z f /K ) und weiter Gal( Z f /K ) ∼ = Gal( Zg /K )×Gal( Zh /K ). Aufgabe 245. Verwende die letzte Aufgabe zur Lösung der folgenden Probleme: √ √ a) Bestimme Gal(Q ( 2 + 3)/Q ). 4 Körper und Galois-Theorie 35 b) Zeige, dass für f = ( X 3 − 2)( X 3 − 3) ∈ Q [ X ] die Galoisgruppe nicht isomorph zum direkten Produkt der Galoisgruppen der Zerfällungskörper der Faktoren ist. Aufgabe 246.

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Übungen zur Algebra: Aufgaben - Lösungen - Probeklausuren by Clemens Fuchs, Gisbert Wüstholz


by David
4.3

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